連續譜

連續譜刻畫了一種算子不可逆的方式，它在有限維中沒有對應物。沒有特徵向量——你無法精確求解 T v = lambda v——但你能任意逼近：存在「近似特徵向量」，算子幾乎把它縮放 lambda 倍。逆在稠密集上形式地存在，卻無法被弄成有界。

在一種標準分解中，lambda 落在 T 的連續譜裡，若 T - lambda*I 是單射（無特徵向量）且值域稠密（故逆定義在稠密集上），但該逆無界（故 T - lambda*I 不是有界可逆，因而 lambda 在譜中）。這樣的 lambda 有一列近似特徵向量：單位向量 x_n 滿足 ||(T - lambda*I) x_n|| -> 0。

對沒有特徵值的算子，連續譜是典型的——乘法算子與移位算子是原型。關於術語的一點告誡：分解譜有若干互不等價的約定（上述「單射且值域稠密」的定義，與譜定理中所用譜測度的測度論「連續部分」），所以務必弄清作者所指的是哪種分解。