預解算子

當 lambda 不在譜中時，方程 (T - lambda*I)x = y 可以唯一地用 y 解出 x，而這個求解運算本身是一個有界算子。這個求解算子就是預解算子。它正是在算子表現良好之處存在的顯式逆，而它對 lambda 的解析依賴，是幾乎全部譜理論背後的引擎。

對預解集中的 lambda，定義 R(lambda) = (lambda*I - T)^{-1}（符號約定因書而異）。預解算子是有界算子，作為 lambda 的函數，它在預解集上是解析的（算子值意義下的全純）。它滿足預解恆等式 R(lambda) - R(mu) = (mu - lambda) R(lambda) R(mu)，這刻畫了逆如何隨參數變化，並表明 R 在不同參數處彼此交換。

由於 R(lambda) 在譜之外解析，且當 lambda 趨近譜時必然爆破，複分析工具——柯西定理、劉維爾定理、冪級數——便可直接搬到算子上。正是藉此可證明譜非空，並透過把函數對預解算子積分來建構全純函數演算。