全純函數

全純函數是複分析的核心主角:一個不僅在某一點、而且在某開區域中每一點都複可微的函數。可以把它想像成一個與複平面如此光滑地編織在一起的函數,以至於一旦你在一小塊上認識了它,你就幾乎處處認識它——它的局部行為以詭異的緊密度支配著它的全局行為。整套豐富理論正是為這類函數而生。

形式上,若 f 的複導數 f'(z) 在開集 U 中每一點 z 都存在,則稱 f 在 U 上全純。一個里程碑定理(柯西積分公式的推論)指出,這單單一個假設就迫使 f 無窮次複可微,而且在每一點的鄰域內等於自身收斂的冪級數。因此「全純」與「複解析」描述的恰是同一類函數——這一巧合在實分析中毫無對應,那裡光滑函數可能嚴重地不解析。

全純性以驚人的方式剛性。連通開集上兩個全純函數若在某個帶有極限點的小集合上相等,則必處處相等(恆等定理)。非常值全純函數的模沒有內部極大值。它的零點是孤立的。這些論斷對一般實可微函數沒有一條接近成立,後者可以隨意彎折與拼接。