整函數

整函數是毫無例外、毫無邊界的全純函數——在複平面的每一個點都複可微,處處沒有奇點。可以說,它在有限平面上「一直全純到無窮遠」。最簡單的例子是多項式,但真正的明星是超越的那些,如指數函數、正弦和餘弦,它們在遠處的行為要有趣得多。

形式上,若 f 在整個 C 上全純,則稱 f 為整函數。等價地,f 等於單一冪級數和 sum a_n z^n,它對每個複數 z 都收斂,即收斂半徑無窮大。常值函數、每個多項式、e^z、sin z、cos z,以及它們的組合與複合都是整函數。

整函數受強有力的全局定理支配,正因為它們無處可以失常。劉維爾定理說有界整函數是常值——故任何非常值整函數必在某處無界增長。當 |z| -> infinity 時的增長速率(函數的「階」)透過阿達馬與魏爾斯特拉斯的深刻結果控制其零點分佈。一個值得說明的告誡:「整」僅指有限平面;像 e^z 這樣的函數在無窮遠處有一個真正狂野的本性奇點,這正是 e^z 不是多項式的原因。