本性奇點

本性奇點是孤立奇點所能擁有的最狂野的行為——既非可去的虛驚一場,也非整潔的極點,而是真正的、不可化約的混沌之點。在這樣的點附近,函數拒絕安定:它不保持有界,也不乾淨地爆破到無窮,而是一遍又一遍地亂掃幾乎每一個可能的複值。它是一場無論你看得多近都不平息的風暴的解析對應物。

形式上,若 z0 是孤立奇點,且 f 在 z0 周圍的洛朗級數有無窮多個非零的負冪係數,則 z0 是 f 的本性奇點。驚人的卡索拉蒂–魏爾斯特拉斯定理說,在本性奇點的每一個鄰域內,函數任意接近每一個複數;更強的大皮卡定理說,它在任意去心鄰域內實際取得每一個複值無窮多次,至多有一個例外。

教科書例子是 z = 0 處的 e^{1/z}。當 z 螺旋著向原點逼近時,1/z 朝各個方向衝向無窮,指數函數旋掃的值稠密地覆蓋整個平面——沿正實軸逼近時 e^{1/z} -> infinity,沿負實軸逼近時它 -> 0,而中間方向取到介於其間的一切。這正是為什麼本性奇點處在亞純函數及帶導數捷徑的留數公式那個舒適世界之外。