洛朗級數

洛朗級數是允許雙向延伸的冪級數——不僅有 (z - z0) 通常的非負冪,還有負冪。泰勒級數只能描述在中心處全純的函數,而洛朗級數能在一個點周圍的環形區域上描述函數,該點處函數可能有奇點。負冪項恰恰是捕捉函數在壞點附近如何失常所必需的。

形式上,在 f 全純的圓環 r < |z - z0| < R 上,f 有唯一展開 f(z) = 對所有整數 n 求和的 a_n (z - z0)^n,求和從 n = -infinity 到 +infinity。負 n 的部分稱為主要部分;它編碼奇點。係數由圍道積分給出:a_n = (1/(2pi i)) 乘以 f(z) / (z - z0)^{n+1} dz 繞圓環中某圓的積分。

洛朗展開是分類孤立奇點的診斷工具:無負冪意味著可去,有限多個意味著極點(其階等於出現的最負冪),無窮多個意味著本性。(z - z0)^{-1} 項的係數 a_{-1} 被單獨挑出作為留數,因為它是唯一其繞 z0 的圍道積分留存下來的項——其他每個冪都積分為零。一個告誡:同一函數在不同圓環中可以有不同的洛朗級數,故必須指明收斂的環。