奇點

奇點是函數的全純良好行為崩潰之處——在原本光滑的複地貌中的一處瑕疵、缺口或爆破。它常常是被一片函數完全全純的區域所環繞的單個壞點(孤立奇點),如原本無瑕薄片上的一個針孔。整套留數演算的藝術,正是關於編目並利用恰恰這些缺陷。

確切地說,若 f 在 z0 處不全純(但通常在任意靠近它的點處全純),則點 z0 是 f 的一個奇點。當 f 在 z0 周圍的去心圓盤上全純而在 z0 本身不全純時,z0 是孤立奇點,它們恰好有三種,由那裡的洛朗級數分類:可去的(可重新定義函數使之全純,無負冪)、極點(有限多負冪,函數爆破到無窮)、本性的(無窮多負冪,行為狂野)。

這一分類是精確而完備的:每個孤立奇點恰是這三者之一。可去奇點不是真正的障礙——黎曼定理說奇點可去當且僅當 f 在 z0 附近保持有界。要小心把孤立奇點與非孤立奇點區分開(如平方根的分支點,或函數可能擁有的稠密極點簇),後者落在這一整潔的三分法之外。