極點

極點是全純函數爆破的最溫順方式:在極點處函數衝向無窮,但以一種受控、可預測的方式,像到壞點距離的某個負冪。當你逼近極點時,|f(z)| -> infinity 光滑地進行,函數本質上像 1/(z - z0)^m,其中 m 為某正整數。極點是被充分理解的奇點——文明的無窮,與本性奇點的混沌形成對照。

確切地說,若在 z0 附近 f(z) 可寫成 g(z) / (z - z0)^m,其中 g 在 z0 處全純且非零,則孤立奇點 z0 是 m 階極點(m 為正整數)。等價地,f 在 z0 周圍的洛朗級數只有有限多個負冪項,最負的為 (z - z0)^{-m}。一階極點稱為單極點。其定義性行為是當 z -> z0 時 |f(z)| 趨於無窮,這既把極點與可去奇點(f 保持有界)區分開,也把它與本性奇點(不存在有限或無限的極限)區分開。

其奇點全為極點的函數稱為亞純函數,它們構成一類行為優美的函數——全純函數之比,如有理函數,即其原型。在 m 階極點處,留數和洛朗級數的主要部分可用一個乾淨的導數公式算出,使極點成為留數演算的家常便飯。一個告誡:「m 階」計入重數,故二階極點(m = 2)比單極點爆破得更快。