留數定理

留數定理是圍道積分的宏大統一回報:要把一個函數沿閉環積分,你根本無需追蹤曲線——你只需找出被困在內部的奇點,在每個奇點處算一個數(留數),把它們加起來,再乘以 2pi i。整個全局積分坍縮為一樁微小的局部記帳。它把在實直線上本無望的微積分,變成例行的算術。

確切地說:設 f 在某開集上除孤立奇點外全純,設 gamma 是正定向的簡單閉圍道,圍住其中有限多個奇點且不穿過任何一個。則 f 沿 gamma 的圍道積分等於 2pi i 乘以 f 在 gamma 內部各奇點處留數之和。(更一般地,每個留數以 gamma 關於該奇點的捲繞數加權。)柯西積分定理是沒有圍住奇點的特殊情形,給出 0。

它的覆蓋面極廣。它求實定積分,如 1/(1 + x^2) 在整條線上的積分;求級數之和,如 sum 1/n^2;計算傅立葉與拉普拉斯變換;並支撐計數零點減極點的輻角原理。本質的紀律是正確的記帳:把圍道內部的每一個奇點都納入,把外部的每一個都排除,留意定向,並記住恰好坐落在圍道上的奇點會使定理按所述不再適用。