柯西積分定理

柯西積分定理是本學科的奠基性奇蹟:若一個函數在一條閉環內部及環上處處全純,那麼沿該環繞行一周的積分恰好為零。沿邊界的環行完全自相抵消。直覺是全純被積函數在局部有原函數,而一個導數沿任意閉路的積分會把你帶回出發處——淨變化為零。

一個乾淨的陳述:若 f 在單連通開集 U(沒有洞的區域)上全純,則對每條位於 U 內的閉圍道 gamma,f 沿 gamma 的圍道積分為 0。單連通這一假設至關重要——它保證沒有隱藏的奇點供環路環繞。古薩的精煉表明你只需假設 f 複可微,而無需導數連續,這正是它有時被稱作柯西–古薩定理的原因。

該定理立即給出路徑無關性:在兩個端點之間,全純函數的積分不依賴於所取路線(在單連通區域內)。它也是積分公式和留數定理的跳板。關鍵的告誡在於拓撲:在帶洞的區域上,或在確實環繞某奇點的環路上,積分可以非零——1/z 繞單位圓的積分為 2pi i,正是因為原點是環路所環繞的一個洞。