柯西積分公式

柯西積分公式是數學中最令人驚嘆的論斷之一:對一個全純函數,區域邊界上的值完全決定了內部每一個值。僅知道 f 在一個圓上的值,你就能透過單個積分重建 f 在圓心處、以及在其他每一個內點處的值。內部被邊界牢牢挾持——在固定邊緣的同時,內部毫無擺動的自由。

確切地說,若 f 在正定向簡單閉圍道 gamma 之上及之內全純,則對內部任一點 a,f(a) 等於 (1 / (2pi i)) 乘以 f(z) / (z - a) dz 沿 gamma 的圍道積分。在積分號下求導給出每一階導數的公式:f^{(n)}(a) 等於 (n! / (2pi i)) 乘以 f(z) / (z - a)^{n+1} dz 的圍道積分。這單單一個公式立即證明全純函數無窮次可微。

其推論層層湧出。該公式給出柯西估計,用 f 在邊界上的大小界定各階導數,由此劉維爾定理兩行即出。它給出均值性質:f 在圓盤中心的值是其邊界值的平均。而它也是證明全純函數解析的途徑——把 1/(z - a) 展開為幾何級數並逐項積分,即得泰勒係數。