劉維爾定理

劉維爾定理抓住了一種驚人的剛性:一個停留在任何固定界限之內的整函數——其輸出從不逃出某個有限半徑的圓盤——別無選擇,只能是一個平坦的常值。不存在永遠在整個平面上盪漾卻保持有界的全純「波」;處處複可微再加上有界,就迫使徹底的靜止。與實分析的反差鮮明,那裡 sin x 有界、非常值、且在整個 R 上光滑。

確切地說:若 f 是整函數(在整個 C 上全純)且存在常數 M 使得對每個 z 有 |f(z)| <= M,則 f 是常值。證明是柯西估計的兩行推論——對任意半徑 R 的圓,導數 f'(a) 以 M / R 為界,令 R -> infinity 就迫使每一點 f'(a) = 0,故 f 不能變化。

其著名推論之一是代數基本定理的複分析證明:若一個非常值多項式沒有根,那麼它的倒數將是一個有界整函數,因而是常值——荒謬。注意這些假設不可商量:去掉「整」,則 1/z 在遠離原點處有界卻非常值;去掉「有界」,則 e^z 是整函數且非常值。兩個條件缺一不可。