最大模原理

最大模原理說,一個非常值全純函數絕不會在其定義域的嚴格內部有一個「尖峰」——其模的最大值總被推到邊界上。把模 |f| 想像成區域上方一張繃緊薄膜的高度;原理禁止任何內部隆起。若最高點出現在內部,函數就會被迫處處是平坦的常值。

確切地說:若 f 在連通開集上全純,且 |f| 在某內點取得局部極大,則 f 在整個集合上為常值。等價地,在有界區域上,若 f 在內部全純並連續到邊界,則 |f| 的最大值在邊界上取得。其機制是柯西公式給出的均值性質:|f| 在圓心處不能超過 |f| 繞一圈的平均,而嚴格的內部極大會違背該平均,除非一切都是常值。

存在一個配對的最小模原理,但有一個告誡:非常值全純函數不取 |f| 的內部極小,除非在 f 本身為零之處(零點平凡地是模的極小)。該原理是唯一性論證、施瓦茨引理及眾多估計背後的主力;它再一次表明,全純函數過於剛性,以至於其模沒有內部局部極值。