留數

留數是附著於孤立奇點的最重要的單個數——它把函數在該點的全部失常濃縮進一個複數。直覺上,它是當你沿奇點周圍的小環對函數積分時所留存下來的「剩餘」:函數的其他每一部分都積分殆盡,而剩下的、除以 2pi i,就是留數。它是留數、殘餘、留存之物。

確切地說,f 在孤立奇點 z0 處的留數是 f 在 z0 周圍洛朗展開中 (z - z0)^{-1} 項的係數 a_{-1}。等價地,它等於 (1/(2pi i)) 乘以 f 繞任意一個只圍住 z0、不圍住其他奇點的小環的圍道積分。對單極點,留數是當 z -> z0 時 (z - z0) f(z) 的極限;對 m 階極點,有一個涉及 (z - z0)^m f(z) 的 (m-1) 階導數的公式。

留數之所以重要,是因為留數定理:一個閉圍道積分等於 2pi i 乘以所圍留數之和。這把繞環積分的全局問題轉化為計算幾個係數的純局部問題。該技巧可求實積分、求無窮級數之和、並計數零點與極點。一個告誡:只有 (-1) 冪的係數才是留數——更高的負冪如 a_{-2} 貢獻於奇點的強度,但積分為零,不進入留數。