複分析
複可微
把普通微積分中導數的定義——增量趨於零時差商的極限——拿來,把你所微擾的那個實數換成複數。這裡的玄機極大:在實直線上你只能從左邊或右邊逼近一個點,但在複平面上,增量 h 可以沿任意你喜歡的路徑、從無窮多個方向縮向零。複可微要求差商無論 h 從哪個方向逼近,都收斂到同一個極限。這單單一個要求,結果卻強得驚人。
確切地說,定義在開集上的函數 f 在點 z0 處複可微,是指當複數 h -> 0 時,(f(z0 + h) - f(z0)) / h 的極限存在。這個極限的值就是複導數 f'(z0)。由於 h 是複數,該商是複數之商,而極限必須沿每一種逼近方式都相同——徑向、螺旋向或其他任何方式。
把它和一個僅僅具有偏導數的雙實變量實函數比較:那些偏導數只探測兩個座標方向,要弱得多。複可微性暗中蘊含一對相互關聯的偏微分方程(柯西–黎曼方程),把實部和虛部捆綁在一起。這就是為什麼在開集上一次複可微的函數會自動無窮次可微,甚至解析——這種剛性在實可微函數中毫無對應物。
f(z) = z^2 處處複可微:(f(z+h) - f(z))/h = (2zh + h^2)/h = 2z + h,當 h 從任意方向 -> 0 時趨於 2z。但 f(z) = conjugate(z) = x - iy 處處不複可微:沿實軸逼近時商為 1,而沿虛軸逼近時商為 -1,故極限不存在。
關於 z 的多項式複可微;共軛則不然。
在單個孤立點處複可微是一個很弱、幾乎無用的條件;威力來自在整個開集上複可微,這正是「全純」的含義。例如 f(z) = |z|^2 僅在 z = 0 處複可微,別處都不行,因此它處處不全純。
又稱
另見