柯西–黎曼方程

把複函數寫成 f(z) = u(x, y) + i v(x, y),將它拆成實部 u 與虛部 v,二者都是兩個實座標的普通實函數。柯西–黎曼方程是精確的記帳規則,它說:u 沿東向移動時的變化,必須與 v 沿北向移動時的變化相吻合;而 u 沿北向的變化,必須恰好是 v 沿東向變化的相反數。它們是複可微性的代數指紋。

具體地,方程為 u_x = v_y 與 u_y = -v_x,下標表示偏導數。在某點複可微的函數 f = u + iv 必然在該點滿足這兩個方程;而當 u 與 v 還實可微時(例如其偏導數存在且連續),滿足柯西–黎曼方程就足以保證複可微。因此在溫和的正則性下,它們是充分必要的。

幾何上它們表明,映射 (x, y) -> (u, v) 的雅可比矩陣不是任意的 2 乘 2 矩陣,而是表示乘以某個單一複數的矩陣——一個旋轉配上均勻縮放。這正是全純映射保角的原因。一個誠實的告誡:僅在一點滿足方程而偏導數不連續,本身並不能強制可微;存在僅在原點滿足方程卻在該處不連續的病態函數。