共形映射

共形映射是保持角度的平面變換:無論兩條曲線以何角度相交,它們的像都以完全相同的角度相交,且旋轉方向相同。它可以劇烈地拉伸、壓縮、彎折與捲曲區域,但絕不剪切——無窮小的形狀被旋轉和縮放,而不被扭曲,故微小的正方形映成微小的正方形(而非平行四邊形),微小的圓映成微小的圓。這是全純性的幾何面貌。

確切地說,全純函數 f 在點 z0 處共形,當且僅當其導數 f'(z0) 非零。原因在於,到一階為止,f 在 z0 附近的作用如同乘以複數 f'(z0),而乘以一個非零複數是一個旋轉(轉過 f'(z0) 的輻角)配上一個縮放(按其模)——而旋轉加縮放保持角度。兩個區域之間的共形映射是處處導數非零的全純雙射,也稱雙全純映射。

共形映射在應用中居於核心地位,把物理問題(熱流、靜電、流體流動)的解從彆扭的區域移植到圓盤或半平面這樣的簡單區域。深刻的黎曼映射定理說,平面中任何非整個 C 的單連通開子集都可共形地映成單位圓盤。關於導數條件的一個告誡:在 f'(z0) = 0 的點處角度不被保持而被放大(f'(z) = 0 為 k 階的點把角度乘以 k+1),故此類點確實不共形。