譜

在有限維中，一個矩陣由它的特徵值刻畫——也就是它僅僅沿之伸縮的那些特殊縮放因子。譜正是把這份特徵值清單恰當地推廣到無窮維空間，在那裡算子可能因為比「存在非零零向量」更微妙的原因而不可逆。可以把它想成算子以某種方式變得「奇異」的全體純量。

設 T 是複巴拿赫空間 X 上的有界線性算子。譜 sigma(T) 是使算子 T - lambda*I 在 X 上沒有有界逆的全體複數 lambda，其中 I 是恆等算子。它的補集，即 T - lambda*I 有界可逆之處，稱為預解集。對非零複巴拿赫空間上的有界算子而言，譜總是複平面的一個非空緊子集，且包含在半徑等於算子範數的閉圓盤內。

一個常見錯誤是把譜等同於特徵值。每個特徵值都落在譜中，但在無窮維裡，譜可以含有根本不是特徵值的點：T - lambda*I 可能是單射卻不是滿射，或沒有有界逆。譜可分解為點譜（真正的特徵值）、連續譜和剩餘譜，各自描述可逆性失效的不同方式。