算子與譜理論
譜半徑
譜半徑回答一個簡單的問題：譜向外伸到多遠？它是以原點為心、包含整個譜的最小圓盤的半徑。它支配長期增長：粗略地說，反覆施加算子會按這個半徑所支配的因子放大，正因如此它出現在穩定性分析和迭代格式中。
對複巴拿赫空間上的有界算子 T，譜半徑為 r(T) = sup{ |lambda| : lambda 屬於 sigma(T) }。它以算子範數為上界，r(T) <= ||T||，但可以嚴格更小。基本的 Gelfand 公式給出 r(T) = lim ||T^n||^{1/n}（n -> 無窮，此極限總存在），把一個譜量與冪的增長聯繫起來。
對正規算子（特別是自伴或酉算子）等號成立：r(T) = ||T||。但一般而言不等式是嚴格的；非零冪零矩陣 N（滿足 N^2 = 0）的譜為 {0}，故 r(N) = 0 而 ||N|| > 0。所以譜半徑小並不意味著範數小，只意味著高次冪最終在 n 次方根意義下收縮。
取 N = [0, 1; 0, 0]（右上角為單個 1 的 2x2 矩陣）。則 sigma(N) = {0}，故 r(N) = 0，而 ||N|| = 1。確實 N^2 = 0，故對 n >= 2 有 ||N^n||^{1/n} = 0，與 Gelfand 公式吻合。
譜半徑為零、範數為一：一個冪零算子。
另見