有界線性算子
有界線性算子是賦範空間之間的線性映射，它從不把距離放大超過某個固定的倍數。可把它想成一台機器，吸入向量、吐出向量，尊重加法與縮放，並帶有一個保證的最大放大率：沒有任何輸入會被拉伸到超過它長度的某個有限倍。
確切地說，設 X 與 Y 是賦範空間，T : X -> Y 線性，即 T(a x + b y) = a T x + b T y。若存在常數 M 使對所有 X 中的 x 有 ||T x|| <= M ||x||，則稱 T 有界。最小的這種 M 就是算子範數 ||T||。關鍵事實是：對線性映射而言，有界恰好等同於連續——線性的 T 連續若且唯若它有界，且此時它甚至是一致連續與利普希茨的。
當心術語：這裡的“有界”並不是說像是有界集——一個非零線性映射會把整個無界空間映到無界的像上。它指的是在單位球上有界，即拉伸因子有一致的上界。在無窮維中，無界（不連續）的線性映射確實存在，例如多項式空間上的微分，故有界是一個真正的假設，而非自動成立。
積分 T f = 從 0 到 1 對 f 的積分是 C[0, 1] 上的有界泛函：|T f| <= integral |f| <= max|f| = ||f||，故 ||T|| <= 1（實際上 = 1，由 f = 1 達到）。然而微分 D f = f' 無界：取 f_n(x) = sin(n x)/n，則 ||f_n|| = 1/n -> 0，而 ||D f_n|| = ||cos(n x)|| = 1，故沒有任何有限的 M 行得通。
積分有界；微分是經典的無界算子。
為何有界與連續僅對線性映射等價？線性使你能把原點處的單個界限搬到處處：若 T 在 0 處連續則處處連續，而在 0 處連續意味著小輸入給出小輸出，這恰是一個拉伸界。非線性映射缺乏這種齊次性，故對它們二者分道揚鑣。