泛函分析
算子範數
算子範數回答關於一個線性映射的單一問題：最壞情形的拉伸有多大？把每個長度為一的向量餵給該映射，觀察輸出有多長；算子範數就是這些輸出長度的上確界。它是最大放大因子，一個總結算子能多強烈地放大的數。
對賦範空間之間的有界線性算子 T : X -> Y，算子範數為 ||T|| = 在 ||x|| <= 1 上 ||T x|| 的上確界，等價地是非零 x 上 ||T x||/||x|| 的上確界，也等價於使對所有 x 都有 ||T x|| <= M ||x|| 的最小常數 M。由定義即可讀出處處使用的基本估計 ||T x|| <= ||T|| ||x||，以及對可複合算子的次乘性 ||S T|| <= ||S|| ||T||。
這個範數使從 X 到 Y 的有界算子全體本身成為一個賦範向量空間；當目標 Y 完備（是巴拿赫空間）時，該算子空間也完備。注意上確界未必能達到——可能沒有任何單位向量實現最大拉伸——這是無窮維與有限維情形相異的微妙之處之一，後者最大值總能實現。
在 l^2 上令 T 把第 n 個坐標乘以 1 - 1/n：(T x)_n = (1 - 1/n) x_n。則恆有 ||T x|| <= ||x||，而用單個基向量 e_n 得 ||T e_n|| = 1 - 1/n -> 1，故 ||T|| = 1。然而沒有任何單位向量使輸出長度達到 1——上確界被逼近卻從不達到。
一個範數為 1 的算子，其上確界從未被任何單位向量達到。
對作用在歐幾里得空間上的矩陣 A，算子範數等於 A 的最大奇異值——A 把單位球面變成的橢球的最長半軸。這一幾何圖景正是帶入無窮維的恰當直覺。
另見