函數演算

函數演算是把算子代入函數的技藝。正如你可以對矩陣求平方或求指數，函數演算讓你對一整類函數 f——平方根、指數、示性函數——以一種自洽的方式建構 f(T)：函數之和對應算子之和，乘積對應乘積，常函數 1 對應恆等算子。它把抽象算子變成你可以在其譜上像數一樣操作的對象。

最簡單的版本是多項式的：對 p(t) = sum a_k t^k，置 p(T) = sum a_k T^k。這分階段推廣。全純函數演算透過把 f(lambda) 對預解算子作柯西型積分，對在譜的鄰域上解析的 f 定義 f(T)。對正規（或自伴）算子，連續與博雷爾函數演算走得更遠，借助投影值譜測度，為譜上每個連續函數、進而每個有界博雷爾函數定義 f(T)。

其指導原則——譜映射定理——說 sigma(f(T)) = f(sigma(T))：f(T) 的譜恰是把 f 作用於 T 的譜。這正是函數演算如此強大的原因——它把算子問題化歸為關於一個限制在譜（一組數）上的函數的普通問題。它正是為正算子定義 sqrt(T)、或為時間演化的自伴生成元定義 e^{itT} 背後的嚴格機器。