正算子

正算子是非負數的算子對應物：它絕不把向量送到相對自身「朝後」的方向。從幾何上看，算子與向量總成非鈍角，故內積 <T x, x> 從不為負。這些恰是擁有平方根、並能寫成某個 T 的 T* T 形式的算子。

在複希爾伯特空間上，有界算子 T 是正的（半正定的），若它自伴且對一切 x 有 <T x, x> >= 0。（在複空間上，對一切 x 的條件 <T x, x> >= 0 已迫使 T 自伴，故自伴性在那裡自動成立；在實空間上則須假設之。）等價地，T 是正的當且僅當它自伴且譜含於 [0, 無窮)。

每個正算子都有唯一的正平方根，即滿足 S^2 = T 的正算子 S，記作 T^{1/2}。反之，對任意有界算子 A，算子 A* A 總是正的；其平方根 |A| = (A* A)^{1/2} 是極分解 A = U|A| 中所用的「絕對值」。須當心：這裡「正」指 >= 0（半正定）；嚴格正／正定還要求對非零 x 有 <T x, x> > 0，這是更強的條件。