內積
內積是讓向量空間記住角度的裝置。熟悉的點積 u · v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... 是原型：它通過 <v, v> = |v|^2 計算長度，通過 u · v = 0 檢測垂直。抽象的內積把同樣的能力——長度、角度、投影——帶到函數與序列構成的空間。
在實數域上，內積是一個對稱雙線性形式 <·, ·>，且正定：<x, x> >= 0，等號僅當 x = 0 時成立。在複數域上，它是半雙線性的——對一個變量線性、對另一個變量共軛線性——且共軛對稱，<x, y> = conjugate(<y, x>)，對非零 x 同樣有 <x, x> > 0。無論哪種情形，它都誘導範數 ||x|| = sqrt(<x, x>)，而向量間夾角由 <x, y> = ||x|| ||y|| cos(theta) 讀出。
最重要的單一推論是柯西–施瓦茨不等式 |<x, y>| <= ||x|| ||y||，它保證角度公式有意義（餘弦保持在 [-1, 1] 內），並由它導出誘導範數的三角不等式。滿足 <x, y> = 0 的兩個向量稱為正交，而正交性是希爾伯特空間理論的幾何引擎。
在 l^2 上內積為 <x, y> = sum over n of x_n conjugate(y_n)。取 x = (1, 1/2, 1/4, ...) 與 y = (1, -1/2, 1/4, ...)，則 <x, y> = 1 - 1/4 + 1/16 - ... = 1/(1 + 1/4) = 4/5，這是一個收斂級數，因為柯西–施瓦茨把它界於 ||x|| ||y|| < 無窮 之內。
兩個平方可和序列的 l^2 內積，由柯西–施瓦茨保證收斂。
複情形中的複共軛並非吹毛求疵：正是它使 <x, x> 保持實數且非負，從而 ||x|| = sqrt(<x, x>) 有意義。關於哪個位置線性，約定各異；物理文獻通常令第二個變量線性，數學文獻則令第一個。