柯西—施瓦茨不等式

柯西—施瓦茨不等式斷言兩個向量的內積不超過它們長度之積。在熟悉的幾何中，這等同於說它們夾角的餘弦介於 -1 與 1 之間：點積等於 |u| |v| cos(theta)，而餘弦的絕對值絕不超過一。提升到函數上，「點積」變為 f 與 g 之積的積分，「長度」則變為 L^2 範數。

在 L^2 框架下：對平方可積的 f 與 g，f 與 g 之共軛的乘積的積分的絕對值，至多為 ||f||_2 乘以 ||g||_2。這恰是赫爾德不等式在自共軛指數 p = q = 2 處的情形。更抽象地，在任何內積空間中不等式 |<u, v>| <= ||u|| ||v|| 都成立，它正是保證內積範數滿足三角不等式的依據。

等號當且僅當 f 與 g 線性相關時成立——即其中一個幾乎處處是另一個的純量倍（允許為零）。該不等式是貝塞爾不等式、希爾伯特空間中夾角定義以及無數估計背後的主力；每當你必須緊緊地估計單個乘積積分而無餘地可讓時，柯西—施瓦茨通常是首先要嘗試的。