赫爾德不等式

赫爾德不等式是估計兩個函數乘積之積分的主力工具。直觀地說：若一個因子只許在另一個因子小處變大，則它們的乘積就累積不出太多面積。該不等式用互補的範數來量度兩個因子，從而把這種權衡精確化——一個用 L^p，另一個用 L^q，其中 p 與 q 是使兩端平衡的共軛指數。

確切地，設 p 與 q 滿足 1/p + 1/q = 1 且 1 <= p, q <= 無窮（含 p = 1、q = 無窮的情形）。對可測的 f 與 g，|f g| 的積分至多為 ||f||_p 乘以 ||g||_q。特別地，若 f 屬於 L^p 且 g 屬於 L^q，則 f g 可積。其證明依賴於乘積的楊氏不等式 ab <= a^p/p + b^q/q，將範數標準化為 1 後逐點應用之。

等號當且僅當 |f|^p 與 |g|^q 幾乎處處成比例（其中之一可為零）時成立——即兩個因子完全「對齊」之時。p = q = 2 的情形回到柯西—施瓦茨不等式。赫爾德不等式還表明 L^q 空間充當 L^p 上的有界線性泛函，支撐起對偶理論。