共軛指數

當兩個指數的倒數互為搭檔、加起來恰為一個整體——恰為一——時，它們便是共軛的。設想一份固定的「權重」單位要分給兩名玩家：若一人取走其中的 1/p，另一人就須取 1/q，方能把整體用盡。正是這套記帳使赫爾德不等式得以平衡，將一個 L^p 因子與一個 L^q 因子配對。

形式上，對 1 < p < 無窮，共軛指數 q 由 1/p + 1/q = 1 定義，等價於 q = p/(p - 1)。該關係是對稱的：p 是 q 的共軛，正如 q 是 p 的共軛。端點按約定處理：1 的共軛是無窮，無窮的共軛是 1，與 L^1 同 L^infinity 的配對相符。自共軛之值為 p = q = 2。

一個有用的檢驗：當 p 增大趨於無窮時，q 減小趨於 1，反之亦然——大的 p（對尖峰敏感）與小的 q（對總質量敏感）相配。共軛指數是赫爾德不等式、閔可夫斯基證明、L^p 對偶性以及插值理論中那位沉默的搭檔；幾乎每個 L^p 估計都悄悄用到它。