Lᵖ 空間與積分理論
L 無窮空間
L^infinity 是那些擁有真正天花板——幾乎處處——的函數的歸宿。它是 L^p 族在 p 趨於無窮時的極限情形，此時範數不再做平均，而是讀出函數實際所能達到的最大值。一個函數恰當它除可能的一個零測集外保持低於某有限界時屬於此處，而那個零測集理論會欣然忽略。
形式上，L^infinity(X, mu) 由所有使 |f| 的本質上確界有限的可測函數 f 組成，而 L^infinity 範數 ||f||_infinity 恰為該本質上確界。與其他 L^p 空間一樣，其元素是關於幾乎處處相等的等價類。該空間是巴拿赫空間——在其範數下完備——且當測度為 sigma 有限時，L^infinity 是 L^1 的對偶。
兩點告誡。第一，「無窮」之名指的是指數，而非取值：L^infinity 函數是（本質）有界的，而非很大。第二，L^infinity 遠不如有限 p 的空間友善：它一般不可分，且與有限 p 的 L^p 不同，在通常的對偶框架下它不是任何自然對象的對偶——L^infinity 的對偶嚴格大於 L^1。對有限測度空間，L^infinity 含於每個 L^p 之中。
在 (0, 1) 上，函數 f(x) = sin(1/x) 振盪次數無限，但取值有界：處處有 |f| <= 1，故 ||f||_infinity = 1。相比之下，g(x) = 1/x 不屬於 (0, 1) 上的任何 L^infinity，因為它在 0 附近一個正測集上超過每一個有限界。
劇烈振盪無妨；唯有無界的幅值才會把函數排除出 L^infinity。
又稱
另見