本質上確界

本質上確界就是那個客氣地忽略掉零測意外的上確界。普通的上確界可能被單個失控的值毀掉：一個除某點處有高達一百萬的尖峰外處處為 0 的函數，其上確界仍是一百萬。但那單個點不帶任何測度，就積分而言也無任何權重——故本質上確界把它丟棄，轉而報告 0。它是「在測度所能看到的範圍內」函數真正的天花板。

形式上，對可測函數 f，本質上確界是使 f(x) <= M 對幾乎所有 x 成立的最小數 M——即所有這類幾乎處處上界的下確界。等價地，它是使集合 {|f| > M}（或 {f > M}，視約定而定）測度為零的所有 M 的下確界。若無有限的 M 可行，則本質上確界為 +無窮。

這恰是 L^infinity 範數所需的正確概念，該範數即 |f| 的本質上確界。它也解釋了為何 L^infinity 函數被稱作「本質有界」：它們可在一個可忽略的集合上無界，卻仍有有限的本質上確界。本質上確界可嚴格小於普通上確界，但絕不會更大。