本質有界

一個函數若停留在某條有限的帶狀區域內——除去可能的一個可丟棄的零測集(勒貝格理論會忽略它)——便稱為本質有界。所以一個在單點取 1000000、其餘處處至多為 3 的函數仍算作以 3 為本質界;那孤立的尖峰落在一個零測集上,對測度而言不可見。

確切地說,f 稱為本質有界,若存在有限常數 M 使得對幾乎每個 x 有 |f(x)| 小於等於 M。最小的這樣的 M 即 |f| 的本質上確界,是寬恕零測集上的不規矩之後真正的上限。它可以嚴格小於普通的上確界,後者會被單個高點破壞。

本質有界函數恰為 L-無窮的元素,其範數等於本質上確界。這是勒貝格世界裡有界性的恰當概念:它在零測集上改變函數時保持不變,符合 L^p 中一切只在相差幾乎處處相等的意義下定義的規則。