Lᵖ 空間與積分理論
Lp 的對偶
一個空間的對偶是對其元素作線性「讀數」的所有方式之集合——即把向量變成數的每一個連續線性泛函。對 L^p，驚人之處在於這些讀數並不奇異：每一個不過是「與一個固定函數配對再積分」。於是 L^p 的對偶竟是另一個 L 空間，即 L^q，其中 q 為共軛指數。抽象的對偶被具體地與熟悉的函數等同起來。
確切地，對 1 <= p < 無窮 及 sigma 有限的測度，L^p 上每個有界線性泛函 T 都具有形式 T(f) = f 乘以 g 的積分，其中 g 是 L^q 中唯一的函數，1/p + 1/q = 1；並且 T 的算子範數等於 ||g||_q。這在對偶空間 (L^p)* 與 L^q 之間建立了一個等距同構。赫爾德不等式正是使每個這樣的積分成為有界泛函的關鍵，而拉東—尼科迪姆定理則是產生表示函數 g 的引擎。
端點 p = 無窮 是著名的例外。L^1 的對偶是 L^infinity（對 sigma 有限測度），但 L^infinity 的對偶嚴格大於 L^1——它含有額外的「有限可加」泛函，是任何可積函數都無法表示的。因此乾淨的自反對稱性 ((L^p)*)* = L^p 對 1 < p < 無窮 成立，卻在 1 與無窮 這兩個端點都失效。
取 p = 2（自對偶，q = 2）。泛函 T(f) = f(x) x dx 在 [0, 1] 上的積分在 L^2[0, 1] 上有界；其表示函數為 g(x) = x，算子範數等於 ||g||_2 = sqrt(1/3)。此處 T 恰是與 g 作內積，體現 L^2 是自身的對偶。
L^p 上每個有界泛函都是與一個固定的 L^q 函數作積分。
另見