拉東—尼科迪姆定理

拉東—尼科迪姆定理回答了一個貌似簡單的問題：何時一個測度能表示為另一個測度「以某密度加權」？若測度 nu 從不在參照測度 mu 一無所見之處指派質量，則該定理許諾存在單個函數——一個密度——逐點告訴你每單位 mu 之物上坐落著多少 nu 之物。它是概率密度、變量替換與條件期望的嚴格基礎。

確切地：設 mu 為 sigma 有限，nu 為關於 mu 絕對連續的 sigma 有限（或帶符號）測度，即 nu << mu。則存在可測函數 f（當 nu 為測度時非負），使對每個可測集 E 有 nu(E) = f dmu 在 E 上的積分。此 f 在關於 mu 幾乎處處相等的意義下唯一，稱作拉東—尼科迪姆導數，記作 dnu/dmu。

前提至關緊要。絕對連續是必要的——點質量無法表為關於勒貝格測度的密度——而 sigma 有限性也不能徑直捨去：相對於不可數集上的計數測度，一個勒貝格型的絕對連續測度未必有密度。當所有前提成立時，該導數在複合下表現得像普通導數：鏈式法則 d(lambda)/d(mu) = (d lambda/d nu)(d nu/d mu) 幾乎處處成立。