絕對連續測度

一個測度關於另一個測度絕對連續，是指它們對「何為可忽略」達成一致：凡參照測度認為大小為零的集合，第一個測度也認為其大小為零。直觀地說，新測度沒有任何質量藏在舊測度看不見的集合上；它被參照測度「帶著走」，絕不在參照測度為暗處的地方點亮。

形式上，對同一 sigma 代數上的測度 nu 與 mu，稱 nu 關於 mu 絕對連續——記作 nu << mu——若對每個可測集 E，mu(E) = 0 蘊含 nu(E) = 0。對有限的 nu，有一個等價的 epsilon–delta 形式可解釋此名：對每個 epsilon > 0 存在 delta > 0，使 mu(E) < delta 強制 |nu(E)| < epsilon。這與函數的絕對連續相呼應——小的總長度強制小的總變差。

其相反極端是互相奇異，即兩個測度活在不交的集合上。勒貝格分解定理說，任何 sigma 有限的 nu 都唯一地分裂為關於 mu 的絕對連續部分加奇異部分。絕對連續部分正是拉東—尼科迪姆定理表示為某密度之積分的那一塊。一個經典的反例：在點 0 處置質量 1 的測度關於勒貝格測度並不絕對連續，因為 {0} 的勒貝格測度為 0，卻帶有點質量 1。