對偶空間
對偶空間匯集了把向量變成數的每一種連續方式。若一個向量空間裝著我們關心的對象，它的對偶就裝著你能對它們做的測量——每個測量都線性且連續。通過對偶來研究一個空間，猶如通過一個形狀的所有影子來研究它：影子往往更易處理，卻揭示了一切要緊之處。
對賦範空間 X，對偶空間 X* 是所有有界線性泛函 f : X -> 純量 的集合，並由算子範數 ||f|| = 在 ||x|| <= 1 上 |f(x)| 的上確界 賦以賦範結構。一個根本且令人安心的事實：X* 總是完備的——一個巴拿赫空間——即使 X 本身不完備，因為純量域完備。故對偶空間自動躋身表現最佳的空間之列。
不同的具體空間有不同的對偶，辨認它們是個反覆出現的主題。對 1 <= p < 無窮，l^p 的對偶是 l^q，其中 1/p + 1/q = 1；由里斯定理，希爾伯特空間的對偶是它自身（的複本）；類似地 L^p 的對偶是 L^q。須當心：l^infinity 的對偶嚴格大於 l^1，故此模式不能延伸到端點，提醒人們核驗假設而非外推。
l^1 的對偶是 l^infinity：l^1 上的有界泛函具有形式 f(x) = sum x_n y_n，其中 y = (y_n) 是唯一的有界序列，且 ||f|| = sup_n |y_n| = ||y||_infinity。例如 y = (1, -1, 1, -1, ...) 給出泛函 f(x) = x_1 - x_2 + x_3 - ...，其範數恰為 1。
把 l^1 的對偶辨認為 l^infinity，並給出一個具體的單位範數泛函。
把 X 經 x -> (在 x 處求值) 映入它的二次對偶 (X*)* 總是一個等距；當它滿射時，稱 X 自反。希爾伯特空間及 1 < p < 無窮 的 L^p 自反，但 L^1、L^infinity 與 C[0, 1] 不自反——這一結構性區別對弱收斂有實在的影響。