線性泛函

線性泛函是向量空間上最簡單的一種測量：它吃進一個向量、返回單個數，且尊重加法與縮放。對一個函數求平均、讀出某個坐標、對固定權重作積分——這些都是線性泛函。它們是構築對偶空間以及整套對偶機器的磚塊。

嚴格地說，純量域上向量空間 V 上的線性泛函是一個映射 f : V -> 純量，對所有向量 x, y 與純量 a, b 滿足 f(a x + b y) = a f(x) + b f(y)。當 V 賦範時，若對某常數 M 有 |f(x)| <= M ||x||，則稱 f 有界，亦即連續；最小的這種 M 是範數 ||f||，而有界泛函恰是對偶空間 V* 的成員。

在有限維中每個線性泛函都自動連續，故那裡此區別是空洞的。在無窮維中則不然：不連續的線性泛函確實存在（其構造需要哈梅爾基與選擇公理），且無法直接構造出來。幾何上，水平集 f(x) = 0 是一張超平面，而 f 連續若且唯若該超平面是閉的而非稠密的。