泛函分析
哈恩–巴拿赫定理
哈恩–巴拿赫定理保證總有足夠多的連續泛函可供做幾何。每當你在一個小子空間上以受控的方式測量了向量，你便能把該測量延拓到整個空間，且絕不超出原有的控制。它是一個承諾：對偶空間又大又豐富——大到足以分離點、支撐超平面、探測方向。
其賦範空間形式為：設 Y 是賦範空間 X 的子空間，f 是 Y 上的有界線性泛函。則存在 X 上的有界線性泛函 F，在 Y 上與 f 一致且範數相同，||F|| = ||f||。擴大定義域絕不會迫使範數增長。（更一般的分析版本把範數換成任意次線性泛函 p，僅要求 F <= p。）
它的推論無處不在。對任意非零 x，存在一個單位範數泛函使 f(x) = ||x||，故泛函確實能看見每個向量；點與閉子空間可由超平面分離；而 X 到其二次對偶的典範嵌入是等距。與更深刻的巴拿赫空間定理不同，哈恩–巴拿赫不需要完備性——但在完全一般的情形下，它確實依賴選擇公理（經由佐恩引理）。
在取最大值範數的 R^2 的子空間 Y = { (t, 0) : t 為實數 } 上，定義 f(t, 0) = t，故 ||f|| = 1。形如 F(x, y) = x + c y 的到 R^2 的延拓恰在 |c| <= 1 時保持範數 1，於是有無窮多個保範延拓——這是哈恩–巴拿赫所容許的非唯一性的有限維縮影。
一個泛函的許多互異保範延拓，體現非唯一性。
延拓一般不唯一——可以有許多保範延拓——定理斷言的是存在性而非公式。在複數域上，先處理實部、再重建複泛函，這是一個值得記住的標準兩步技巧。
另見