泛函分析
里斯表示定理
里斯表示定理揭示：在希爾伯特空間中，除了與某個固定向量取內積之外，沒有別的方式能線性而連續地度量一個向量。每一種對向量的連續“純量讀數”暗地裡都是“與 y 作點積”，且 y 唯一。對偶空間——先驗地本可能是個陌生的新對象——結果竟是空間自身的忠實複本。
確切陳述：若 H 是希爾伯特空間，f : H -> 純量 是有界（連續）線性泛函，則存在唯一的 y 屬於 H 使對所有 x 屬於 H 有 f(x) = <x, y>，且泛函的範數等於表示向量的長度，||f|| = ||y||。對應 f <-> y 是對偶空間 H* 與 H 之間的雙射；在實數域上它是線性等距同構，在複數域上是共軛線性的。
證明是投影定理的一個乾淨應用。若 f 恆為零則取 y = 0；否則 f 的核是餘維數為一的閉子空間，其正交補是一維的，把該補中的一個單位向量適當縮放便恰好產生表示向量 y。這就是為何希爾伯特空間被稱為自對偶，而一般巴拿赫空間並無此性質。
在 l^2 上取泛函 f(x) = sum over n of x_n / 2^n。因 |f(x)| <= ||x|| ||y||（其中 y = (1, 1/2, 1/4, ...)）它有界，里斯定理說 f(x) = <x, y> 恰對這個 y 成立。其範數為 ||f|| = ||y|| = sqrt(sum 1/4^n) = sqrt(4/3) = 2/sqrt(3)。
l^2 上一個具體的泛函，及經內積表示它的唯一向量。
此定理是量子力學狄拉克記號的根基：每個左矢 <psi| 就是那個連續泛函“與右矢 |psi> 取內積”。它也是微分方程弱形式的基礎，其中解由它與試驗函數的配對方式來刻畫。
又稱
另見