泛函分析
希爾伯特空間
希爾伯特空間是歐幾里得空間的全部幾何——長度、角度、垂直、畢氏定理——即使在無窮多維中也完好保存的場所。它在巴拿赫空間之外多出的成分是內積，使你不僅能問一個向量有多長，還能問兩個向量相對取向如何。它是傅立葉分析與量子力學的天然居所。
確切地說，希爾伯特空間是一個內積空間（帶有內積 <x, y> 的向量空間），它關於由內積誘導的範數 ||x|| = sqrt(<x, x>) 完備。這裡的完備性與巴拿赫空間相同：每個柯西序列都在空間內收斂。因此希爾伯特空間恰是範數來自內積的巴拿赫空間。
並非每個範數都源自內積；源自內積的那些以平行四邊形律 ||x + y||^2 + ||x - y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2 為特徵。當它成立時，內積可由範數經極化恆等式恢復，正交性的豐富工具隨之解鎖：標準正交基、到閉子空間的正交投影、以及每個連續泛函的里斯表示。典範例子是 l^2，即平方可和序列，R^n 的無窮維類比。
帶內積 <f, g> = integral f(x) conjugate(g(x)) dx 的空間 L^2[-pi, pi] 是希爾伯特空間。函數 e_n(x) = exp(i n x)/sqrt(2 pi) 構成一組標準正交基，把 f 按此基展開恰是它的傅立葉級數——把無窮維幾何變成了計算工具。
L^2 配以複指數：其標準正交基即傅立葉級數的希爾伯特空間。
所有可分的無窮維希爾伯特空間都與 l^2 等距同構——本質上只有一個。這種剛性是希爾伯特空間所獨有的；巴拿赫空間則種類繁多而狂野，沒有這樣的分類。
另見