傅立葉級數

想像一個和弦。耳朵聽到的是一個豐滿的聲音，但物理學家會說它由純音組成——一個基音和它的泛音，各有確定的響度。傅立葉級數對週期函數做的正是這件事：它把函數寫成純正弦音的疊加，即頻率為基本週期整數倍的正弦與餘弦。

具體而言，對於在長度為 2*pi 的區間上可積、週期為 2*pi 的函數 f，其傅立葉級數為 a_0/2 + 對 n >= 1 求和 (a_n cos(n x) + b_n sin(n x))。係數 a_n 與 b_n 即傅立葉係數，由 f 與 cos(n x)、sin(n x) 作積分而得。等價地可用複形式 對所有整數 n 求和 c_n e^{i n x}，在分析中更為簡潔。

一個核心警告：寫出級數是一回事，知道它等於 f 是另一回事。級數可能逐點收斂到 f，或僅在均方（L2）意義下收斂，甚至——對連續函數——也可能在某些點發散（du Bois-Reymond，1873）。所以「f 有級數……」這個記號是關於係數的陳述，而非自動的等式。在何種假設下成立何種收斂模式，正是本學科的核心。