三角級數

三角級數是任何形如 a_0/2 + 求和 (a_n cos(n x) + b_n sin(n x)) 的級數，其係數為任意實數（或複數）——並不預設背後存在某個函數 f。可把它看作用諧波搭建波形的藍圖，在我們追問它所描述的波是否為合理函數之前就先寫下來。

每個傅立葉級數都是三角級數，但反之不然。可積函數 f 的傅立葉級數是其係數由 f 的積分給出的那種特殊三角級數。存在處處收斂卻不是任何可積函數之傅立葉級數的三角級數——例如 對 n >= 2 求和 (sin(n x))/log(n) 對每個 x 都收斂，但其「係數」 b_n = 1/log(n) 不是平方可和的，故它不可能是任何 L2 函數的傅立葉級數。

這一區分開創了本學科。康托爾研究三角級數何時能處處等於零（即唯一性問題），由此引導他構造實數並發明集合論。所以這個看似狹窄的概念，從歷史上看正是現代分析與集合論眾多內容由之生長的種子。