傅立葉係數

如果傅立葉級數是用純音搭建函數的配方，那麼傅立葉係數就是各種用量——你倒入每個音多少。頻率 n 處的係數衡量函數與該頻率波形「共鳴」的強弱。

提取規則是一種投影：把函數與對應的波作積分。複形式中，c_n = (1/(2*pi)) 在 [-pi, pi] 上 integral of f(x) e^{-i n x} dx。實形式中，a_n = (1/pi) integral of f(x) cos(n x) dx，b_n = (1/pi) integral of f(x) sin(n x) dx。這之所以可行，是因為三角函數構成正交系：cos(n x) 與 cos(m x) 作積分，除非 n = m 否則為零，於是其它每個音都「抵消」，只剩你正在檢測的那個。

係數透過其衰減速率編碼光滑性：f 越光滑，c_n 趨於 0 越快。若 f 僅可積，則 c_n -> 0（黎曼-勒貝格引理）；若 f 是 k 次連續可微的週期函數，則 n^k c_n -> 0。反過來，衰減緩慢標誌著粗糙——一個跳躍間斷會迫使 c_n 僅以 1/n 的速度衰減。