貝塞爾不等式

設想你把一個向量投影到坐標系的某些軸上。它投下的影子絕不會比向量本身更長——你只能捕獲其長度的一部分。貝塞爾不等式正是這一顯然的幾何事實，對函數和任意標準正交族而言：儲存在係數中的總能量不會超過函數的能量。

設 (e_n) 是內積空間中的標準正交系，c_n = f 與 e_n 的內積 為廣義傅立葉係數。則 求和 |c_n|^2 <= f 範數的平方。證明只需一行：f 與其部分投影之差正交於該投影，故由勾股定理，投影的能量加餘項的能量等於 f 的能量——捨去非負的餘項便得不等式。

兩個推論立即且有用。其一，係數級數 求和 |c_n|^2 收斂（其部分和被範數所界），這迫使 c_n -> 0。其二，等式對每個 f 都成立當且僅當該標準正交系完備——此時貝塞爾不等式升級為帕塞瓦爾等式。所以貝塞爾是永遠成立的那一半；完備性才填補縫隙。