正交系

在普通空間裡，x、y、z 軸之所以有用，正因為它們互相垂直：每個軸度量其它軸忽略的方向。正交系是這一思想對函數的版本——其成員在積分內積下互相「垂直」，故每個都捕獲一個獨立於其餘的特徵。這正是為何在這種系中作展開很簡單：你逐個讀出每個係數，無需把它從別的係數中解開。

具體而言，在內積空間中（如 L2，其內積為 f 與 g 之內積等於 f 乘 g 的共軛的積分），若當 n 不等於 m 時 phi_n 與 phi_m 的內積為 0，則系 (phi_n) 是正交的。若另外每個 phi_n 的範數為 1，則系是標準正交的。[-pi, pi] 上的三角函數 {1, cos n x, sin n x} 以及複指數 {e^{i n x}} 是原型，滿足 當 n 不等於 m 時 在 [-pi, pi] 上 integral of e^{i n x} 乘 e^{-i m x} dx = 0。

僅有正交性還不足以表示每個函數——你還需要完備性，即沒有非零函數與整個系正交。僅僅正交的系可能遺漏方向，只給出貝塞爾不等式；完備的標準正交系張成整個空間，給出等式（帕塞瓦爾）和真正的級數展開。其它重要的完備正交系包括勒讓德、埃爾米特和拉蓋爾多項式，各自針對不同的權重與區間。