泛函分析
標準正交基
標準正交基是希爾伯特空間的完美坐標系：一組單位長度、兩兩垂直的向量，豐富到空間中每個向量都能由它沿這些方向的投影重建。它推廣了 R^n 的標準坐標軸——要找某個坐標，你只需投影到對應的軸上，無需求逆矩陣，毫不費力。
希爾伯特空間 H 中的一族 {e_k} 稱為標準正交的，若 <e_j, e_k> 在 j = k 時為 1、其餘為 0。若它還完備——唯一與全體正交的向量是 0，等價地它們的有限線性組合在 H 中稠密——則它是一組標準正交基。此時 H 中每個 x 都展開為 x = sum over k of <x, e_k> e_k，級數依範數收斂，係數由簡單的投影給出。
關鍵在於，無窮維中標準正交基並不是代數（哈梅爾）意義下的基——你確實需要無窮和，而非僅有限組合。完備性還等價於帕塞瓦爾恆等式 ||x||^2 = sum over k of |<x, e_k>|^2，即無窮維的畢氏定理，它說明在轉入坐標時沒有長度被丟失。希爾伯特空間擁有可數標準正交基，若且唯若它可分。
在 l^2 中，第 k 位為單個 1 的向量 e_k = (0, ..., 0, 1, 0, ...) 構成標準正交基。對 x = (x_1, x_2, ...)，係數正是 <x, e_k> = x_k，展開 x = sum x_k e_k 是顯然的，而帕塞瓦爾即 ||x||^2 = sum |x_k|^2——這正是屬於 l^2 的條件本身。
l^2 的標準基，帕塞瓦爾恆等式恰好還原了定義範數。
缺乏完備性時，這族僅是一個標準正交系，人們只得到貝塞爾不等式 sum |<x, e_k>|^2 <= ||x||^2，一個單邊的界。對每個 x 都取等號，恰是升級為基。格拉姆–施密特過程能由任意無關族製造出標準正交系。
另見