黎曼-勒貝格引理

把任何合理的函數乘以一個極快振盪的波再積分。波的正負峰挨得如此之近，以致在函數近乎常數的每一小段上，貢獻幾乎抵消。振盪越快，抵消越徹底。黎曼-勒貝格引理把這一直覺化為定理：任何可積函數的高頻傅立葉係數必衰減到零。

確切地說，若 f 在某區間上可積（屬 L1），則 當 |n| -> infinity 時 integral of f(x) e^{-i n x} dx -> 0，f(x) cos(n x) 與 f(x) sin(n x) 的積分亦然。對實軸上的傅立葉變換，其陳述是 f-hat 是一個在無窮遠處消失的連續函數：當 |xi| -> infinity 時 f-hat(xi) -> 0。證明用光滑函數或階梯函數在 L1 中逼近 f——對它們抵消是顯然的——再用 L1 範數控制誤差。

關於其局限的誠實告誡。引理只說係數趨於零；它對快慢隻字不提，而緩慢衰減完全可能——係數可以慢到像 1/log n 那樣趨於 0。特別地，c_n -> 0 並不蘊含傅立葉級數收斂，也不蘊含係數可和。逆命題同樣不成立：一個趨於 0 的序列未必是任何 L1 函數的傅立葉係數。所以該引理是成為傅立葉係數序列的必要條件，但遠非充分。