傅立葉變換

傅立葉級數把週期函數拆成整數頻率處的離散音。但單個不重複的脈衝——整條實軸上的函數——怎麼辦？當週期拉伸到無窮，分立的頻率融合成連續統，係數之和變為積分。傅立葉變換便是其結果：它把函數分解成連續的頻率譜，告訴你它含有每種頻率多少。

對實軸上的可積函數 f，一種常見約定將其變換定義為 f-hat(xi) = 在全體實數上 integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx。變量 xi 是頻率；f-hat(xi) 是一個複數，其大小是該頻率的振幅，其相位是其時序。該變換把困難的分析運算變為簡單的代數運算：求導變為乘以 xi，卷積變為普通乘法。

一個根本特徵是不確定性原理：一個函數和它的變換不能同時尖銳地集中。x 中的窄峰在頻率中鋪展成寬帶，反之亦然——擠壓一個就拉伸另一個。這不是某個例子的怪癖，而是一條定理（例如由海森堡的不等式精確化），它支撐著從量子力學到信號處理的一切。還須注意約定各異：2*pi 的位置和指數中的符號因作者而異，故公式須連同其歸一化一併閱讀。