普朗謝雷爾定理

普朗謝雷爾定理是傅立葉變換版的能量守恆，也是級數情形帕塞瓦爾等式的連續對應。它說：一個函數的總能量等於其變換的總能量。把訊號分解成頻率既不創造也不毀滅能量。

確切地說，在約定 f-hat(xi) = integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx 下，對實軸上每個 L2 函數 f，其變換 f-hat 也屬於 L2，且 integral of |f(x)|^2 dx = integral of |f-hat(xi)|^2 dxi。這裡藏著一個真正的技術點：f-hat 的定義積分只有當 f 可積時才絕對收斂，而一般的 L2 函數未必可積。故先在好函數（如既可積又平方可積）上定義變換，再藉連續性把它擴張到整個 L2，恰以範數保持作為使該擴張良定的工具。

結論是傅立葉變換是希爾伯特空間 L2 上的酉算子——它是無窮維空間的一個旋轉，保持一切長度與角度。其逆是逆變換，內積也被保持（極化形式：integral of f 乘 g 的共軛 = integral of f-hat 乘 g-hat 的共軛）。這種酉性是調和分析與量子力學許多內容所倚靠的結構骨架。