傅立葉反演

如果傅立葉變換記錄了訊號含有每種頻率多少，傅立葉反演就把這段錄音放回去：它把所有頻率分量按正確的振幅和相位加起來，重組出原始訊號。值得注意的是沒有資訊丟失——函數與其頻譜互相決定。

在約定 f-hat(xi) = integral of f(x) e^{-2*pi*i*x*xi} dx 下，反演公式為 f(x) = integral of f-hat(xi) e^{+2*pi*i*x*xi} dxi。唯一的改變是指數中的符號。但這一乾淨的陳述需要假設：當 f 與 f-hat 都可積（且 f 連續）時，它逐點逐字地成立。當積分不絕對收斂時，須將其理解為對稱極限或訴諸可和性，正如傅立葉級數那樣。

有一處值得標明的微妙之處。在 f 有跳躍的點處，反演積分（理解為主值）返回平均 (f(x+) + f(x-))/2，而非任一單側值——正是級數的狄利克雷定理的對應。而 L2 意義下的反演（經由普朗謝雷爾）僅在 L2 中把 f 恢復為一個元素，即至多差一個測度為零的集，故「同一函數」意味著幾乎處處相等。