逼近恆等

卷積在普通函數中沒有真正的恆等元——不存在某個函數與 f 卷積後原樣返回 f（那個角色屬於狄拉克 delta，它不是函數）。逼近恆等是退而求其次的最佳選擇：一族真正的函數，隨某參數把它們變尖，越來越像那個理想的點質量，故與它們卷積可在極限下恢復 f。

若三個條件成立，則族 (K_t) 是逼近恆等：每個 K_t 的總積分為 1；它們的 L1 範數保持有界；且當 t 縮小時，它們的質量集中於 0 附近（|K_t| 在 0 的任一鄰域之外的積分趨於 0）。標準做法是伸縮：取一個固定的、積分為 1 的凸塊 phi，令 K_t(x) = (1/t) phi(x/t)，把凸塊擠得更窄更高，同時保持其面積為 1。

基本定理：若 (K_t) 是逼近恆等，則當 t -> 0 時 f * K_t -> f，收斂模式取決於 f。對（緊支的）連續 f，收斂是一致的；對 L^p 中的 f，收斂在 L^p 範數下；而在可積 f 的每個連續點處，收斂是逐點的。費耶爾核、泊松核和高斯磨光子是標準例子——這一單一原理支撐著平滑、光滑函數的稠密性，以及從變換恢復函數的確切含義。