卷積

卷積是把兩個函數混合成第三個的方法：讓其一滑過另一個並累加交疊。直觀地說，它是抹勻：若 g 是一個小的模糊核，則 f 與 g 的卷積是 f 的一個模糊、平滑的版本，其中每個輸出值是鄰近輸入值的加權平均。這正是相機鏡頭模糊清晰圖像、或滑動平均平滑含噪數據時發生的事。

形式上，f 與 g 的卷積為 (f * g)(x) = integral of f(y) g(x - y) dy。它可交換、可結合，且對加法滿足分配律——其行為像一種乘法。平滑是實實在在的：與光滑核作卷積使結果至少與該核同樣光滑，無論 f 多麼粗糙，因為導數可以轉移到光滑的因子上。

它在調和分析中擔當主角源於一條恆等式：傅立葉變換把卷積變成普通的逐點乘法。即，f * g 的變換等於 f-hat 乘 g-hat。一邊糾纏的積分變成另一邊簡單的乘積——這正是濾波、微分方程和概率（其中獨立變量之和的密度是一個卷積）都在頻域中變得可處理的原因。